张量是一种高维的矩阵，近年来在机器学习中得到了广泛应用，尤其是在处理含有潜在变量的模型时。例如，张量分解技术被用来改进诸如隐马尔可夫模型（HMM）、高斯混合模型和隐藏狄利克雷分配等模型的学习算法。这些方法通常被认为是谱学习的一种形式。

通过奇异值分解（SVD），我们可以将一个矩阵分解成多个秩为1的矩阵之和。例如，一个小的矩阵可以通过SVD分解成更简洁的形式，从而节省参数数量。这种分解在机器学习中有广泛的应用。

张量分解是矩阵分解的一种扩展，尽管大多数张量问题在最坏情况下是NP难问题，但很多子问题可以在多项式时间内解决。在学习潜在变量模型时，这些自然子问题仍然非常有用。

首先，我们来看一个矩阵分解的实际例子。在1904年，心理学家查尔斯·斯皮尔曼试图了解智力是否可以分解为几种可测量的智力类型。假设人类的智力由量化和语言两部分组成。斯皮尔曼通过各种考试来收集数据，如文学、数学、音乐等，这些数据被记录在一个矩阵M中，每一行代表一个学生，每一列代表一门科目。

斯皮尔曼的方法简化版是假设每个学生有不同的量化和语言智力水平，分别用a和b表示。同时，每门科目的考试衡量了不同程度的智力水平组合，因此给量化和语言智力水平不同的权重，分别用c和d表示。这样，我们可以通过一个二维线性函数来描述这种关系。

具体来说，我们可以用两个秩为1的矩阵和表示矩阵M。因此，如果矩阵M的秩为2，我们可以推断出确实存在这两种智力水平。

然而，这种分解并不是唯一的。例如，在某些情况下，不同的学生可能会有不同的量化或语言智力水平。这意味着即使两个不同的分解都能很好地拟合实际数据，我们也不能确定哪一个是正确的。通常，我们可以通过添加约束条件来寻找唯一的解，例如所有矩阵元素必须是非负的。

为了增加分解的唯一性，我们可以引入更多维度的数据。例如，假设智力水平会随时间变化，比如在晚上人们更容易完成量化类型的工作。这样，我们可以通过两次考试来收集数据，一次在白天，一次在晚上。这些数据可以被视为一个三维张量，其中第三个维度表示时间。

用这种方法，我们可以构建一个秩为2的张量。通过引入新的变量，我们可以更好地捕捉到智力水平随时间的变化。在这种情况下，分解的唯一性可以通过Kruskal的条件来保证，即如果向量对是非线性相关的，那么张量的分解就是唯一的。

然而，分解仍然可能存在一定的不唯一性，主要是由于张量的成分是对称的，以及我们可以通过缩放三个维度来影响分解结果。尽管如此，这种方法在挖掘张量结构方面仍然是非常有效的。

在很多情况下，我们不需要额外的数据就能挖掘出张量结构。例如，在隐马尔可夫模型（HMM）中，我们可以通过计算变量的低阶相关性来构造一个张量。具体来说，我们可以计算三元组中词频的相关性，从而生成一个三维张量。

这种方法的关键在于，如果我们固定第二个词的话题，那么整个张量就可以分解为三个独立的部分。这样，我们就可以计算张量中的每个元素，并最终识别出这些成分。这种方法使得我们能够更好地理解和推断隐藏的潜在变量模型中的概率。

总之，张量分解提供了一种强大的工具，使我们能够在复杂的潜在变量模型中挖掘出有用的结构，并且这种方法已经在很多实际问题中得到了应用。