如果你想深入了解机器学习及其背后的数学原理，你会发现几乎所有问题都可以归结为一个优化问题。例如，训练神经网络就是一个参数优化的问题。因此，要真正理解机器学习算法，你需要首先掌握数学优化的基本概念及其实用性。

在这篇文章中，你将看到一步步演示如何解决一个简单的机器学习问题。在这个过程中，你将了解到为什么这个问题最终归结为一个优化问题，参数如何被优化以及如何找到最优解。

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机器学习求解步骤

步骤1：定义问题

假设我们有一个包含11个已知点的数据集，每个点的坐标为（x1, x2）。例如，x1可以表示电脑的使用年限，而x2表示训练神经网络所需的时长。如果我们只知道电脑的使用年限x，却不知道训练神经网络的确切时间x2，那么我们就需要一个更好的算法来解决这个问题。

步骤2：简单猜测

我们随意选取一个数据点来预测x对应的x2值，这样会产生一个误差。然而，如果数据集中没有与预测点使用年限相近的点，那么误差就会很大。

因此，我们需要一种更有效的算法来解决问题。

步骤3：改进猜测：机器学习方法

a. 数据拟合

现在我们进入机器学习领域。观察红色数据点后，可以看出一个线性趋势：电脑使用时间越长，训练所需的时间也越长。一个更好的算法可以根据数据识别这种趋势，从而做出更准确的预测，减少误差。

我们需要找到一条函数曲线来拟合数据。

b. 找到拟合线

我们如何找到这条线？利用高中知识，只需找到最佳的a和b值： [图像]

对于给定的数据，最优值为a=0.8和b=20。但如何找到这些最优值？

c. 最优a和b：最小化均方误差

我们希望找到a和b，使直线y=ax+b尽可能好地拟合数据。换句话说，数据点与直线之间的误差（或距离）应尽量小。如图所示，黄色虚线应该尽量短。 [图像]

以点（x1，x2）=（100，120）为例，已知最优参数a=0.8和b=20，该点的误差为：

误差 = f(x) - y

误差 = f(100) - 120

误差 = a*100 + b - 120

误差 = 0.8*100 + 20 - 120

误差 = -12

为了评估整个拟合线的表现，我们需要计算所有点的误差。为此，我们首先计算每个点误差的平方。原因有两个： 1. 通过平方误差，我们可以得到一个绝对值，(-12)^2 = 144，平方放大了误差，如果某些点离拟合线较远，误差会变得更大。 2. 用公式表示：

[图像]

更一般的写法：

这个公式称为均方误差和（sum of square error），在统计学和机器学习中十分常见。

d. 优化函数

为什么优化函数如此重要？我们希望找到a和b，使y=ax+b更好地拟合数据集。也就是说，我们要找到a和b，使均方误差最小，即：

[图像]

如果我们找到函数f(a, b)的最小值，就能找到a和b的最优值：

[图像]

在实际计算之前，我们先画出优化函数f(a, b)的图形：

[图像]

左图的高度代表均方误差的大小，山峰越高，误差越大。最小均方误差位于绿色箭头所指处，此处对应的a和b就是最优值。

当沿着a轴改变a的取值时（对应左图斜率变大），相应的误差也会变大。 [图像]

同样，当沿着b轴改变b的取值时（即拟合线上下移动），误差也会增大。 [图像]

e. 计算最优值

如何计算均方误差最小值对应的a和b？我们知道，要获得全局最小点必须满足两个条件： 1. 一阶偏导f'(a, b) = 0 2. 二阶偏导f''(a, b) > 0

由于目标函数是二维的，我们可以简单地计算每个维度上的偏导数。根据条件1，我们得到以下方程：

f(a, b) Δa = 0

f(a, b) Δb = 0

已知f(a, b) = SUM(axi + b - yi)²，进一步化简：

f(a, b) = SUM(yi² + b² + a²xi + 2abxi - 2byi - 2axiyi)

综合可得：

SUM(yi² + b² + a²xi + 2abxi - 2byi - 2axiyi) Δa = 0

SUM(yi² + b² + a²xi + 2abxi - 2byi - 2axiyi) Δb = 0

很容易计算出偏导数：

f(a, b) = SUM(2axi + 2bxi - 2xiyi) = 0

f(a, b) = SUM(2b + 2axi - 2yi) = 0

记住，在下面两个方程中，有两个SUM，和许多已知点xi和yi。就算只有10个点，代入后方程也会变得很长，因此手算也变得不容易，只能借助计算机。

恭喜你！你已经知道了线性回归的工作原理，以及如何通过已知样本学习到两个参数a和b。

但是，还有更多的知识需要了解。

逼近多项式

如果数据没有展现出线性趋势，而是像一个二次函数的趋势：

在这种情况下，线性函数拟合的效果不佳，多项式拟合可能更好。这意味着我们需要处理平方函数、三次函数，甚至更高阶的多项式逼近。

但是，计算这些函数的方法是通用的。首先，我们再次定义问题，希望找到一个平方函数y = ax² + bx + c，以更好地拟合数据：

[图像]

现在，我们需要确定三个参数：a、b和c。由于最小化问题稍有不同，但均方误差和目标函数不变。

过拟合

最后，我们仍然有一个问题需要解答。一开始提到的那个具有线性趋势的问题，难道不能用二次函数拟合吗？当然可以！我们用更高阶的函数y = ax² + bx + c去拟合不好吗？如果只从训练集上的表现来看，高阶函数确实会减少误差。

实际上，当目标函数的阶次比总样本点少1时，我们的目标函数将拟合每一个点，均方误差为0。这听起来很完美，但并非如此。看下面两幅图：

[图像]

在左图中，我们用二次函数近似拟合数据；在右图中，我们用10阶函数拟合，因此它可以近似拟合几乎所有14个样本点。

但是，右图的线条运动显得异常复杂，它试图拟合所有的点，但失去了数据的整体趋势。高阶函数对数据的变化更加敏感，预测结果更加不可靠。

因此，我们应该首先观察数据，决定使用几阶多项式拟合效果最好，然后选择合适的阶数进行拟合。