理解回归问题及线性回归

本文旨在介绍什么是回归问题，处理这类问题的基本思路和步骤，以及如何利用机器学习模型解决回归问题，特别是通过线性模型来实现。

作者：莫凡

来源：华章科技

00 线性回归：有效处理回归问题的方法

本文将介绍机器学习算法，我们将从线性回归（Linear Regression）开始探讨。

许多机器学习教材习惯一开始就深入讲解算法细节，这样做固然有其优点，但在学习新技术时，我更倾向于遵循“是什么”、“为什么”和“怎么做”的三步曲。如果我们之前没有接触过机器学习，首先需要弄清楚的是“机器学习是什么”。

因此，我们从线性回归算法开始。线性回归不仅结构简单、易于理解，而且包含了许多机器学习算法的核心特征，便于全面了解机器学习算法的工作原理。对于初学者来说，线性回归是机器学习算法的良好入门选择。

学习新技术时，常常面临这样的矛盾：技术太复杂可能会让人望而却步，技术太简单又可能让人觉得过时。然而，线性回归并不是这种情况。它不仅在当下仍具有很高的实用价值，而且在很多实际场景中仍然发挥着重要作用。线性回归模型小巧而全面，非常适合分析和应用。

让我们从“线性回归”这个术语入手。在学习机器学习的过程中，经常会遇到一些令人困惑的术语，“线性回归”就是其中之一。初次接触时，很多人可能不清楚如何拆分这个词语。其实，“线性”指的是一类模型，称为“线性模型”；“回归”则是处理一类问题，称为“回归问题”。因此，“线性回归”可以理解为使用线性模型来解决回归问题。

线性模型和回归问题并不是一开始就设计好的一对组合。回归问题是机器学习中非常经典的一类问题，有许多方法都可以用来解决。除了回归问题，这些方法还可以应用于其他问题，例如分类问题。总的来说，问题和模型之间存在多对多的关系。遇到合适的模型和问题时，两者才能形成有效的配合。

01 预测未来的回归问题

不用担心接下来会遇到复杂的术语。机器学习并非凭空产生，回归问题实际上是从统计学中借用的概念。

大约两百年前，统计学家高尔顿在研究父子身高的关系时，发现了一个“趋中效应”：如果父亲的身高高于平均水平，儿子的身高有更大的概率低于父亲。这个现象被称为“回归”，因此“回归”一词由此而来。

在回归分析中，事物的发展趋势并不是单一的上升或下降，而是围绕均值波动。有时会跌入低谷，但也会逐渐回升；有时会处于高峰，但也可能会遇到困难。从这个角度来看，回归问题更像是一个哲学问题。

那么，什么是回归问题呢？回归问题有很多具体的例子，比如根据历史天气数据预测明天的温度、根据历史股市数据预测股票走势、根据历史数据预测某篇文章的点击率等，这些都是回归问题。正因为回归问题与日常生活密切相关，所以它是机器学习中常见的一类问题。

回归问题具有独特结构，其中一个显著特点是历史数据和未来预测。历史数据和预测未来是回归问题的两个关键特征。

在机器学习中，回归问题和分类问题都属于有监督学习，且在数据形式上非常相似。那么，如何区分一个问题到底是回归问题还是分类问题呢？

回归问题和分类问题的主要区别在于预测结果。根据预测结果的不同，预测结果可以分为连续值和离散值。如果是连续值，那么这就是一个回归问题。

连续值并不是简单的描述词，它有着严格的数学定义。不过，我们可以简单地理解为时间就是连续的，连续型数值在编程中通常用整数和浮点数表示。图3-1展示了连续型数据的示例。 [align=center][attach]293266[/attach][/align]

相比之下，离散值的最大特点是缺少中间过渡值，因此会出现“跳跃”的现象，例如“是”和“否”，通常用布尔类型表示。图3-2展示了离散型数据的示例。 [align=center][attach]293268[/attach][/align]

02 如何预测未来

回归问题是指预测连续值的问题，而满足这种要求的数学模型称为回归模型。我们将要介绍的线性回归就是其中的一种。许多教材在介绍回归模型时，往往直接进入具体算法，而忽略了对初学者的一个重要问题：为什么回归模型可以进行预测？这个问题虽然看似显而易见，但实际上并不是那么简单。

人们对于“预测”的第一印象可能是某个传说故事：两个高人结伴出行，早上在破庙休息时，一个对另一个说：“睡觉别靠墙，我刚刚算出寅时墙会倒。”另一个不以为然地摆摆手：“我也算了一下，墙会倒向左边，我靠左睡应该没问题。”

故事中的高人可能看的是《奇门遁甲》，而不是《机器学习》。奇门遁甲不在本书讨论范围内，那么机器学习的回归模型能否进行精准预测呢？

答案是可以的，但前提是需要足够的历史数据。数据的重要性无论如何强调都不为过。如果把机器学习算法比作一台机器，那么数据就是驱动这台机器的燃料，没有燃料，再精巧的设计也只能是摆设。

我们不是要预测未来吗？为什么又要强调历史数据的重要性呢？这涉及到哲学问题。可以认为世界是一个相互联系的整体，或者说可以把预测看作一次侦探小说中的推理过程。犯罪行为总是会留下痕迹，只要找到相关的线索，就能推理出结果。

当然，预测难点在于待预测对象与什么相关是未知的。但是，这些关系通常隐藏在历史数据中，需要通过机器学习算法将其挖掘出来。机器学习算法并不创造关系，只是发现和利用这些关系。有一种观点认为，机器学习并不是神秘的技术，从数学角度看，它只是对输入数据点的拟合。

机器学习完成预测的流程包括以下几个步骤： 1. 收集数据。 2. 构建模型。 3. 训练模型。 4. 使用模型进行预测。

我们可以通过前面提到的两个高人的故事来说明墙体倒塌的问题。墙体倒塌可能由许多偶然因素引起。虽然我们不是土木专家，但可以凭感觉列出可能导致墙体倒塌的因素，如墙体材料、使用时间、承建商质量、外部环境因素等。这些因素可以分为与倒塌密切相关、有些关系和完全没有关系三种情况。如果人工进行预测，最重要的是找出哪些因素与倒塌密切相关，哪些因素有一定关系，哪些因素无关。

为了找出这些关系，我们可以制作一张调查表，记录墙体材料、使用时间、出现裂缝等情况。这就是数据集中每一条样本数据的维度。就像商家了解用户偏好一样，我们通过调查表了解墙体倒塌的偏好。

调查表的大致形式如下表所示。 [align=center][attach]293269[/attach][/align]

最后一栏是“倒塌概率”，这是我们最关心的。这些已知的概率和相关维度数据将为预测提供重要依据。

最关键的是找出各个维度与倒塌之间的关系，这个步骤将由模型自动完成。

我们需要做的只是将历史数据输入回归模型，模型会通过统计方法寻找墙体倒塌的相关关系，判断使用时间和承建商选择哪个更重要。这个过程称为训练模型，从数学角度看，就是通过调整模型参数来拟合数据。如何调整参数来拟合数据是每款机器学习模型都需要考虑的问题。

训练完成后，将要预测的墙体状况按数据维度填好，回归模型就能给出预测结果。流程如图3-3所示。 [align=center][attach]293270[/attach][/align]

可以看出，回归模型是预测的关键，通过给模型“喂”数据来训练它，使其具备预测能力。也许你对“模型”这个词感到陌生又好奇，不知道该如何想象。而图3-3的“模型”是一个大大的四方盒子，输入数据就能得到预测结果，像是奇幻故事中的水晶球。

不必担心，“模型”这个词将在我们对机器学习的整个探索过程中贯穿始终，就像庆典游行中的花车等待我们一一欣赏。接下来要介绍的第一款模型就是线性模型。

03 线性方程的特性

也许你对名为“模型”的大盒子充满期待，同时也担心会遇到一堆数学符号，因此不敢立即揭开谜底。不过，线性模型更像是一个过度包装的大礼盒，打开一看，里面只有唯一的东西：线性方程。第一次接触时，各种名词很容易让人感到困惑，但不必着急，我们先梳理一下名词之间的关系。

在介绍机器学习基本原理时，提到了“假设函数”这个术语。假设函数是一类函数，其作用是进行预测。线性方程就是线性回归模型的假设函数。

虽然名字听起来高冷，但实际上非常简单。“线性”意味着像直线那样，例如线性增长就是像直线那样增长。我们知道，直线是最简单的几何图形，而线性方程就是能画出直线的一种方程。如果方程有性格，那么线性方程一定是“直男”的典型代表。

直线方程最大的特点是“耿直”，从头到尾都是直来直去，函数图像如图3-4所示。 [align=center][attach]293271[/attach][/align]

这看起来没什么特别，但对比一下常见的以2为底数的对数函数（图3-5a）和指数函数（图3-5b），可以看出其他函数或多或少都有些弯曲，这是变化不均匀造成的。相比之下，直线方程始终是直线。

直线方程通常写成y=kx+b的形式，k称为斜率，b称为截距。这两个参数可以看作重要的调节器，直接控制直线的旋转和平移动作。具体来说，通过调整斜率，可以改变直线的角度。 [align=center][attach]293272[/attach][/align]

在图3-6的四幅图中，直线具有相同的截距，但斜率不同。通过改变斜率，可以看到直线发生旋转的效果。 [align=center][attach]293273[/attach][/align]

直线还可以通过调整截距来上下平移。如图3-7所示，这三条平行直线具有相同的斜率，但截距不同，可以看到直线发生了上下平移的效果。 [align=center][attach]293274[/attach][/align]

“旋转”和“平移”是直线的全部技能，这体现了线性方程简单直率的“直男”本性。

准确地说，线性方程和直线方程还是有些区别的。直线是二维平面图形，而线性方程可以在多维空间中应用。不过，无论是二维平面还是多维空间，直线所能做的仍然是“旋转”和“平移”两种动作，线性模型想要拟合数据，主要依靠的就是这两种动作。

在机器学习中，斜率k通常用字母w表示，是权值（weight）的首字母。通过调整w和b的值，可以控制直线在多维空间中的旋转和平移，就像老式收音机上的旋钮，通过旋转旋钮可以选择想要的电台。

这个通过调整权值来实现目标的过程称为权值调整或权值更新。对于线性模型，学习过程的主要工作就是权值调整。通过合理搭配旋转和平移，可以完成对输入数据的拟合，从而解决回归问题。 [align=center][attach]293275[/attach][/align]

04 最简单的回归问题——线性回归

在前面我们介绍了什么是回归问题，并直观感受到了线性方程的“直男”本性。接下来，我们将直接回答为什么模型可以进行预测。尽管学术界对此尚未达成一致意见，但这里采用一种当前较为广泛接受的观点。

到目前为止，我们还不能完全理解这个世界，但现实世界基本上遵循着某种规律，我们称之为“奥秘方程”。在机器学习领域，我们通过历史数据训练模型，希望模型尽可能地拟合“奥秘方程”。一旦掌握了“奥秘方程”，还有什么剧情不能预测呢？

不过，这里有一个问题需要注意。

以线性模型为例，线性模型是用直线方程来拟合数据的，但直线毕竟是“钢铁直男”，它的动作也只有旋转和平移。模型的能力有限，如果拟合能力不足，即使想尽量拟合也无法做到。

因此，选择模型的关键不在于模型的复杂程度，而在于数据分布。虽然线性模型简单易懂，也非常适合入门，但唯一的缺点是它太简单了，面对复杂的世界，它真的能解决问题吗？

要知道，尺有所短，寸有所长。回归问题是一大类问题，其中一类问题称为线性回归问题。遇到这类问题时，不用线性模型确实不行。接下来，我们将看看线性回归是如何进行预测的。 [align=center][attach]293276[/attach][/align]

应用线性回归进行预测的快速入门： 在线性回归问题中，要预测的“奥秘方程”也是线性方程。这类方程的特点是数据集点呈线性分布，因此用线性模型效果最好。也许你会怀疑，这个世界上真的有这么简单的“奥秘方程”吗？确实存在，而且你可能已经见过。

已知小明前年3岁，去年4岁，今年5岁。请问小明明年几岁？

这是一个典型的预测连续值的问题，显然是一个回归问题。回归关注的是几个变量之间的相互变化关系，如果这种关系是线性的，那就是一个线性回归问题，适合用线性模型来解决。我们按照机器学习的习惯，将已知条件整理成数据集，这是一个三行两列的矩阵：

[[2017, 3], [2018, 4], [2019, 5]]

这是一个二维矩阵，如果画出图像，两个维度之间的线性关系就一目了然。这里以年份为X轴、年龄为Y轴绘制数据点，可以看到三个呈线性排列的数据点（图3-8a）。将这些点连接起来，可以看到它们排成一条直线（图3-8b）。

这条直线对应的线性方程是y = x - 2014，这就是所谓的“假设函数”。线性回归的预测依赖于这条方程。对于2019年之后的情况，我们只能知道过去的真实数据，但通过这条线性方程可以预测未来。

例如，将“2020”作为x输入，可以计算出对应的y值为“6”，即预测2020年小明的年龄为6岁。这个例子虽然简单，但完整展示了线性回归预测背后的原理。线性回归的预测能力在经济和金融等领域也被广泛应用，虽然听起来高端，但实际上原理非常简单。

本文摘编自《机器学习算法的数学解析与Python实现》，经出版方授权发布。

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