成本函数

在机器学习中，我们的主要目标之一是尽量减小成本函数，为此，我们将执行优化过程来最小化这个成本函数。成本函数可以用以下公式表示：

为了更好地理解成本函数的几何特性，我们需要学习凹函数和凸函数的概念：

凹函数

凹函数g(x)的特点是，对于任意两个点a和b，在x轴上对应的点g(a)和g(b)之间的直线总位于g(x)之下。凹函数的最大值出现在导数等于零的点。

凸函数

凸函数则具有相反的性质，其最小值出现在导数等于零的点。

如何找到成本函数的最大值或最小值？

寻找成本函数最大值或最小值的方法主要有两种：

解析法

解析法适合于寻找凹函数的最大值和凸函数的最小值。这种方法通过求解导数等于零的方程来实现。

爬山算法

爬山算法是一种迭代方法，从一个初始点出发，逐步调整参数以接近最优值。在凸函数的情况下，可以通过计算导数来决定是增加还是减少参数，从而逼近最优解。

学习率的作用

学习率决定了爬山算法中的步长。它可以分为静态学习率和动态学习率：

• 静态学习率：在整个训练过程中保持不变。
• 动态学习率：随着训练进程逐渐减小，有助于算法更快地收敛到最优解。

选择合适的学习率至关重要，过小的学习率会导致训练时间过长，而过大的学习率可能会导致错过最优解。

梯度下降

梯度下降是实现爬山算法的一种方法，主要用于最小化多变量的成本函数。通过计算梯度向量（包含成本函数相对于各变量的偏导数），我们可以在每次迭代中调整参数，使得成本函数尽可能减小。梯度下降算法是机器学习的核心部分，也是深度学习模型在反向传播过程中更新权重和偏差的基础。

希望本文能帮助您理解机器学习中成本函数、学习率及梯度下降的基本概念。