什么是向量

由n个实数组成的有序数组称为n维向量。向量的例子包括：

其中向量可分为行向量和列向量。a是一个n维行向量，其第i个分量记作ai（1≤i≤n）。β是一个n维列向量，其第i个分量记作bi（1≤i≤n）。

行向量和列向量的转置

若需将行向量转换为列向量或将列向量转换为行向量，可以采用转置的方法。

向量何时相等

两个n维向量只有在其每个对应的分量都相等时才被认为是相等的。例如，向量a=（a1，a2，...，an）和向量β=（b1，b2，...，bn）相等的条件是ai=bi（i=1，2，...，n）。

特殊类型的向量

零向量

所有分量都为零的向量称为零向量，通常记作0=（0，0，...，0）。

负向量

对于一个n维向量a=（a1，a2，...，an），其各个分量的相反数组成的向量称为a的负向量，记作-a，即-a=（-a1，-a2，...，-an）。

向量的线性运算

向量之间的加法和减法是通过对应分量的加法和减法来实现的。

向量与实数的乘积则是向量的每个分量与该实数相乘的结果。

内积

向量a与b的内积（也称作点积或数量积）可以通过以下公式计算：

其中|a|表示向量a的模，即向量的长度。

内积的性质包括：

• a·a=|a|²
• 若a·b=0且a≠0，b≠0，则a与b的夹角为90度。

向量的范数

向量的范数是指向量与某个实数之间的关系。向量的范数用符号||x||表示，需要满足以下条件才能称为向量x的范数：

常见的范数包括：

• x的0范数会导致问题变得非凸，这时可以考虑使用1范数。
• 如果从可视化角度来看，不同范数的区别如下图所示：

从图形可以看出，L1范数比L2范数更加稀疏。这是因为，在优化过程中，L1范数更容易使某些变量变为零，从而表现出稀疏性。