矩阵的加法

要使两个矩阵能够相加，它们的维度必须相同，即都必须是m行n列。计算时，只需将对应位置的元素相加即可。

举例：

数与矩阵的乘法

一个实数k乘以一个矩阵A，其结果是将实数k分别乘以矩阵A中的每个元素。

矩阵的减法

矩阵的减法与加法类似，要求两个矩阵的维度相同，然后对相应位置的元素进行逐一对位相减。

矩阵的乘法

矩阵的乘法涉及将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行逐元素相乘，再将这些乘积相加。计算结果如图所示。

矩阵乘法的定义是，如果有两个矩阵A和B，且矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积可以表示为：

[ C = A cdot B ]

其中，[ c_{ij} ]的值为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。

注意事项：

矩阵乘法不具备交换律，即[ AB neq BA ]。

矩阵乘法的性质

矩阵的转置

将矩阵Amn的行与列互换，得到矩阵Anm，这个新矩阵被称为原始矩阵Am*n的转置矩阵。

方阵的幂

对于一个方阵A，若将它自乘k次，这称为方阵A的k次幂，记作[ A^k ]。

方阵幂的性质：

假设方阵A，且k1和k2均为自然数，方阵幂的性质定义如下：

• ( A^{k1} cdot A^{k2} = A^{k1+k2} )
• ( (A^{k1})^{k2} = A^{k1 cdot k2} )

需要注意的是，只有当k等于1时，上述性质才成立，其他情况下并不总是成立。