本文重点

在接下来的一节中，我们将探讨n阶行列式。在此之前，我们需要先掌握一些预备知识。

n级排列

假设我们有三个数字1、2、3，它们有多少种排列方式呢？ - 1，2，3 - 1，3，2 - 2，1，3 - 2，3，1 - 3，1，2 - 3，2，1

可以看到，共有六种排列方式。n级排列的定义为： 由n个不同的数字1、2、...、n组成的有序数组i1、i2、...、in

以上所示的六种排列都属于三级排列。

逆序数

在一个n级排列i1、i2、...、in中，如果较大的数字it排在较小的数字is之后（is < it），则称它们构成一个逆序。n级排列中逆序的总数称为逆序数，记作N(i1 i2 ... in)。

举例说明，对于一个五级排列25413，它的逆序数是多少呢？可以看到2在1后面，构成了一个逆序；5在4、1、3后面，构成了三个逆序；4在1、3后面，构成了两个逆序。因此，总共有六个逆序数，即N(25413) = 6。

奇排列和偶排列

奇排列：逆序数为奇数的排列
偶排列：逆序数为偶数的排列

举例来说： - N(123) = 0，123是偶排列 - N(321) = 3，321是奇排列

行列式

接下来，我们将讨论逆序数、奇排列和偶排列如何与行列式相关联。

二阶行列式

二阶行列式等于a11a22 - a12a21。分析可知，二阶行列式有两项，每项是两个元素的乘积a1j1a2j2。当N(j1j2)为偶数时，符号为正；当N(j1j2)为奇数时，符号为负。例如，a11a22中的列N(12) = 0，因此是正的；而a12a21中的列N(21) = 1，因此是负的。

三阶行列式

同样地，三阶行列式有六项，每项是三个元素的乘积。这六项的正负取决于列的奇偶性。例如，a11a22a33中N(123) = 0，因此是正的；而a11a23a32中N(132) = 1，因此是负的。

n阶行列式

n阶行列式的计算方法如图所示，共有n!项，每项是n个元素的乘积。乘积的正负通过N(j1j2...jn)来判断。最终将n!项相加即得到n阶行列式的值。

总结

我们可以发现，任意n阶行列式都由n!项组成，且每一项是从不同行和不同列中选取的n个元素的乘积。其中，行从1到n，列是j1j2...jn，它们是所有n级排列中的一个。N(j1j2...jn)的奇偶性决定了该项的正负。

最后

通过n级排列和奇偶排列的概念，我们可以更好地理解和计算n阶行列式。实际上，在实际应用中，我们可以通过逐级降阶的方法来简化行列式的计算过程。