在学习机器学习和深度学习时，我们经常遇到线性变换和非线性变换的概念。例如，在深度学习中广泛使用的激活函数就是一种非线性变换，这正是神经网络强大性能的原因之一。本课程我们将从数学的角度探讨线性变换的概念。

线性变换的几何直观

线性变换具有以下特点： 1. 变换前后，直线依然保持为直线。 2. 变换前后，原点位置不变。 3. 直线的比例保持不变。

如图所示，我们可以看到两种常见的线性变换——旋转和平移，它们完全符合上述三个规则。

什么是线性变换

假设V(F)和W(F)是两个线性空间，σ是从V(F)到W(F)的一个映射，且满足以下条件： - σ(X+Y)=σ(X)+σ(Y)，对于所有的X，Y∈V(F) - σ(λX)=λσ(X)，对于所有的λ∈F，X∈V(F)

则称映射σ为从V(F)到W(F)的线性映射。如果W(F)是V(F)的子空间，则称σ为V(F)上的线性变换。

相似变换

相似变换是指线性空间Vn(F)中的元素经过数乘运算。特别地，相似变换包括两种特殊形式。

线性变换的性质

假设σ：V(F)→U(F)是一个线性映射，则： 1. σ(0)=0'，其中0和0'分别是V(F)和U(F)的零元素。 2. σ(-X)=-σ(X)，对于所有的X∈V(F)。 3. σ将V(F)中的线性相关向量组映射为U(F)中的线性相关向量组。 4. 设V1(F)是V(F)的子空间，记σ(V1(F))={σ(X) | X∈V1(F)}，则σ(V1(F))是U(F)的子空间，且dimσ(V1(F))≤dimV1(F)。

线性变换的象空间和零空间

象空间是指经过线性变换后得到的空间，而零空间则是指经过线性变换后变为零元素的空间。

在线性变换T中，有两个重要的概念： 1. 线性变换T的秩等于象空间的维度，即dimR(T)。 2. 线性变换T的零度等于零空间的维度，即dimN(T)。

这些概念在机器学习中非常重要。