文章重点

矩阵的初等变换有许多优点。矩阵可以被视为函数或线性方程组的参数。通过初等变换，我们可以快速求解方程组，方便地找到逆矩阵，并更容易确定矩阵的秩。

什么是矩阵的初等变换？

当满足以下条件时，我们称之为矩阵的初等变换：

1. 交换矩阵的任意两行（或两列）
2. 将矩阵的某一行（或某一列）乘以一个非零数k
3. 将矩阵的某一行（或某一列）加上另一行（或另一列）的若干倍

初等矩阵

通过对单位矩阵I施加一次初等变换，所得到的矩阵被称为初等矩阵。

初等变换和初等矩阵

当我们对一个矩阵进行一次初等变换时，相当于该矩阵左乘（或右乘）一个与其相同的初等矩阵。行变换对应左乘，列变换则对应右乘。

示例

任意矩阵A经过多次初等变换可以化为如下形式的矩阵D：

这种形式的矩阵D称为矩阵A的等价标准形。在实际应用中，我们将矩阵绘制成这种形式，左上角为单位矩阵，其余部分为零矩阵，这样可以简化后续操作。

等价矩阵

如果矩阵A可以通过有限次初等变换转化为矩阵B，则称A与B等价。如果A是一个n阶可逆矩阵，则D等于单位矩阵I，这表明可逆矩阵是满秩的。