如何确定矩阵的秩？

对于一个矩阵A，我们可以通过有限次的初等变换将其转换为标准型：

矩阵的秩是指A的阶梯形矩阵中非零行的数量。例如，将矩阵A经过初等变换后，得到的阶梯形矩阵中有两行是非零的，那么矩阵A的秩就是2。

k阶子式

假设矩阵A是一个m×n的矩阵，我们可以在A中任意选取k行k列（k≤min(m,n)），这些行和列相交处的元素构成的k阶行列式称为矩阵A的一个k阶子式。例如，下图展示的就是矩阵A的一个k阶子式，它由第一行、第二行、第三行以及第一列、第二列、第三列相交的元素组成，并保持它们原来的相对位置。

矩阵秩的定义

矩阵A的秩定义为其中不为零的子式的最高阶数。如果存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式都为零，则r就是矩阵A的秩，记作r(A)=r。如果矩阵A是n阶矩阵，并且r(A)=n，则称A为满秩矩阵。

例如，我们观察到矩阵A经过有限次初等行变换后，其阶梯形矩阵中的非零行数量为2，因此r(A)=2。此外，矩阵A存在一个2阶子式不为零，而所有3阶子式都为零，因此秩为2。

不同的角度理解矩阵的秩

矩阵的秩实际上反映了基向量的降维情况。例如，假设有一个3阶矩阵，它能够对三维向量进行运算，生成一个新的三维向量。这个新的三维向量可能都落在同一条直线上（1维）、一个二维平面上（2维），或者三维空间中（3维）。这三种情况分别对应秩为1、2、3。因此，我们可以通过矩阵的秩来判断该矩阵是否具有降维的能力。如果没有降维，那么这个矩阵被称为满秩矩阵。