内积（点积或数量积）

点积可以通过两种不同的方式来定义：代数方式和几何方式。在引入了笛卡尔坐标系的欧氏空间中，向量之间的点积既可以通过向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。

代数定义

从代数的角度来看，点积是通过对两个向量中每一对对应元素进行乘法运算，然后将所有乘积相加得到的结果。例如，对于向量a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂)，点积计算公式为： [ a cdot b = a₁b₁ + a₂b₂ ]

几何定义

从几何角度来看，点积是两个向量的长度与其夹角余弦的乘积。具体来说，假设向量a和向量b都是单位向量，那么a和b的点积就表示它们夹角的余弦值。如果向量b是单位向量，那么a与b的点积等于a在b所在直线上的投影的矢量长度。

夹角计算

给定向量a和向量b，它们之间的夹角θ可以通过以下公式得到： [ cos(theta) = frac{a cdot b}{|a||b|} ]

在这个公式中，a·b代表向量a和向量b的点积，|a|和|b|分别代表向量a和向量b的长度。因此，a·b的值可以用来确定向量之间的夹角大小。

点积值的意义

点积的值是一个标量。当u和v均为非零向量时，如果点积为负，则说明u和v之间的夹角大于90度；如果点积为零，则u和v垂直；如果点积为正，则u和v之间的夹角为锐角。

点积的性质

• 向量a与自身的点积等于该向量的模的平方，即[ a cdot a = |a|^2 ]
• 如果a·b=0，且a和b均不为零，则a和b的夹角为90度，即它们垂直。

点积的应用

在物理学中，点积常用于计算力所做的功。在计算机图形学中，点积被用来判断方向，例如，当两个向量的点积大于0时，它们的方向较为接近；如果小于0，则方向相反。

此外，点积还是人工智能领域中神经网络技术的数学基础之一。