正交矩阵简介

本文将介绍一种重要的矩阵类型——正交矩阵。正交矩阵在线性代数中具有重要的地位。下面我们将详细探讨这一概念。

正交矩阵的概念

正交矩阵是指满足特定条件的方阵。具体来说，当一个方阵A满足这些条件时，我们称其为正交矩阵。需要注意的是，只有方阵才能成为正交矩阵。

正交矩阵的性质

1. 如果矩阵Q是正交矩阵，那么它的行列式值只能是1或-1。

2. 如果矩阵Q是正交矩阵，那么它是可逆的，而且它的逆矩阵等于它的转置矩阵。

3. 如果矩阵P和矩阵Q都是正交矩阵，那么它们的乘积PQ也是正交矩阵。

4. 如果矩阵Q是正交矩阵，那么它的行向量和列向量都是单位向量，并且彼此正交。

正交变换

假设A是一个正交矩阵，而x是一个向量，那么Ax被称为正交变换。特别值得注意的是，正交变换不会改变向量的长度。

正交矩阵的充要条件

对于一个n阶实矩阵Q，它是正交矩阵的充分必要条件是它的列（或行）向量组构成一个单位正交向量组。如果一个向量组中的向量两两正交，那么这个向量组称为正交向量组。如果这些向量同时还是单位向量，那么就构成了单位正交向量组。