平面旋转矩阵

在线性变换的学习过程中，我们了解到矩阵实际上是一种函数。在这里，我们介绍了一种正交矩阵，它可以用来旋转向量。平面旋转矩阵是指在与某个向量相乘时，能够改变该向量的方向而不改变其大小，并且保持手性不变的矩阵。

平面旋转矩阵可以实现二维向量的旋转功能。如果需要旋转一个多维向量中的两个坐标，这时应采用何种矩阵呢？

旋转变换（吉文斯变换）

吉文斯变换是一种在特定平面上进行旋转的方法，具体来说是在第i个坐标轴和第j个坐标轴所在的平面上。其中，c = cos(θ) 和 s = sin(θ) 分别出现在第i行和第j行与第i列和第j列的交叉点上。

性质

除了已知的性质外，吉文斯旋转还具有两个重要特性：当吉文斯旋转矩阵G(i,j,θ)从左侧乘以另一个矩阵A时，GA仅作用于A的第i和第j行；而当它从右侧乘以另一个矩阵A时，GA仅作用于A的第i和第j列。

这意味着吉文斯旋转只会影响i和j行或列的元素，相当于旋转了i和j坐标。因此，在计算时，我们只需要关注i和j行或i和j列。

应用

吉文斯旋转的一个重要应用是可以将向量中的指定元素变为0。例如，给定向量x，通过吉文斯旋转可以将第i个元素从xi变为xi'，并将第j个元素从xj变为0。那么，如何求出矩阵P呢？首先，我们知道P是由单位矩阵的第i行和第j列变为三角函数构成的。因此，我们需要求解这些三角函数。

三角函数关系如下所示，我们只需利用这些关系就能计算出所需的三角函数值。

综上所述，只要知道向量的第i个元素和第j个元素，就可以求得矩阵P，这一过程非常简单。