本文重点

在接下来的课程中，我们将学习平面旋转变换（即吉文斯变换）。本节课程中，我们将运用这种变换来实现矩阵的分解任务。为了更好地理解这部分内容，建议读者先回顾之前关于吉文斯变换的相关课程，这里不再赘述基础知识。

QR分解定义

首先，需要明确的是，一个矩阵要能够进行QR分解，必须是非奇异矩阵。这意味着该矩阵可以通过一系列有限的正交矩阵相乘，从而转化为一个可逆的上三角矩阵。因此，我们可以表示为PA=R，进一步推导出A=QR，其中Q是P的逆矩阵。

吉文斯变换实现矩阵的QR分解实例

吉文斯变换和初等反射矩阵在实现QR分解方面有着相同的核心思想，即逐步处理矩阵的每一列。通过吉文斯变换，我们可以将矩阵的某一列转化为特定形式。

首先，我们需要对矩阵的第一列进行变换，使其从（3，0，4）变为（a,0，0）的形式。从吉文斯变换的角度来看，i=1，j=3。因此，计算得出c=3/5，s=4/5。这样，吉文斯变换矩阵可以表示为：

经过吉文斯变换，向量（3,0,4）可以被转换为（5,0,0）。通过这种方式，吉文斯变换矩阵能够将原始矩阵A转化为特定形式：

然后，继续采用同样的方法对上图中红色部分的矩阵进行变换，目标是将（3,-4）变为（a,0）的形式：

至此，变换过程完成。此时，矩阵A在P1和P2的作用下，变为了：

Q矩阵则是P2P1乘积的逆矩阵：

这样，我们就通过吉文斯变换实现了矩阵的QR分解。