n元二次型及其矩阵表示

根据上面的图表定义，n元二次型由n阶对称矩阵A的系数构成。这个矩阵A是对称的。

矩阵表示法

通过将n元二次型用矩阵表示，可以将形式简化为矩阵方程。此时，二次型f(x)的秩等于矩阵A的秩，二次型f(x)与对称矩阵A一一对应。

二次型的标准型

通过将n元二次型用矩阵表示，我们希望将其转换为对角矩阵。为此，需要两个步骤：

1. 线性变换：首先，令x = Cy，其中C是线性变换矩阵，且C必须是可逆的。这种线性变换被称为非退化线性变换或可逆线性变换。

2. 代入二次型：将x = Cy代入二次型矩阵表示f(x)，可以得到yTB y的形式。由于C是可逆的，因此满足特定条件：

通过上述步骤，二次型f(x)可以转换为标准二次型，其中d1, d2,... 是对角矩阵B的元素。

标准型的规范化

在获得标准二次型后，可以通过重新排列变量顺序进一步规范化。具体来说，将正系数移到后面，负系数移到前面。经过这一操作，系数将变为1，从而形成规范型。此外，有一个重要定理指出，任何二次型都可以通过非退化线性变换转化为规范型，且这种规范型是唯一的。

正惯性指数和负惯性指数

在规范型中，正项的个数称为二次型的正惯性指数，负项的个数称为二次型的负惯性指数。二次型的秩r等于正惯性指数p加上负惯性指数q。

另外，如果两个矩阵合同，则它们具有相同的正负惯性指数和秩。例如，如果A和B合同，那么它们的秩相同，正负惯性指数也相同，因此p = t。