合同矩阵的概念

接下来我们将探讨如何将一个n元二次型转换为标准形式，这可以通过一个可逆矩阵C实现。考虑到这部分内容之前已经讨论过，因此这里不再重复详细介绍。具体过程如下：

通过一个可逆矩阵C，可以将二次型的矩阵A转换为另一个矩阵B，即B = C^TAC（其中T表示转置）。这意味着只要满足B = C^TAC，我们就可以认为矩阵A与矩阵B是合同的。下面将对此进行进一步解释：

矩阵A与通过非退化线性变换x = Cy得到的矩阵B = C^TAC是合同的。

合同关系的特性

• 任何矩阵都与其自身合同。
• 如果矩阵A合同于矩阵B，则矩阵B也合同于矩阵A。
• 若矩阵A合同于矩阵B，且矩阵B合同于矩阵C，则矩阵A也合同于矩阵C。

内积与二次型之间的联系

我们了解到，当两个矩阵满足上述关系时，它们是合同的。那么，合同究竟起到了什么作用？它与二次型有何关联？我们将在下面详细探讨。

我们之前学过向量的内积，现在回顾一下：向量的内积可以用以下方式表示：

即a的转置乘以b，也就是a和b对应位置元素相乘后再求和。假设a和b的每个维度具有相同的权重，如果权重不同，可以表示为：

其中S是一个对角矩阵，其对角线上的元素决定了向量a和向量b对应维度的权重。实际上，如果不仅考虑a和b对应位置的权重，还包括a任意位置与b任意位置的权重，那么S就是一个矩阵，其第i,j个元素表示了ai和bj之间的权重。对比二次型：

可以看出，S矩阵实际上就是二次型中的A。因此，f(x) = X^TAX实际上代表了一种内积的运算，而A则衡量了内积计算中xi和xj的权重。这表明内积与二次型之间存在紧密联系。

再谈内积

假设在一个基{ei}下有两个向量a和b，它们在此基下的内积表示为：

如果我们换到一个新的基{ei'}，那么a和b会有新的表示a'和b'，它们在此新基下的内积表示为：

这两个内积实际上是相等的，因为它们描述的是同一对向量a和b的内积，只是基不同而已。既然相等，我们可以认为A与A'是合同的。合同的真正含义在于：相同的内积在不同基下的表示。从二次型的角度看，原始内积是X^TAX，通过线性变换C后，基发生变化，新的基下的内积变为Y^TBY。二次型也因此变得更加简单。综上所述，合同就是描述相同内积在不同基下的表示。我们进行二次型到标准型的变换，正是为了使内积的表示更加简单。改变坐标系的目的就是为了在最简单的坐标系下更好地理解问题的本质。