文章重点

本文将介绍一种与PCA算法相似的新算法——线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）。LDA也被称为Fisher线性判别（Fisher Linear Discriminant，FLD），是一种经典的形式识别算法。它最早于1996年由Belhumeur引入形式识别和人工智能领域。

LDA的基本原理

LDA的核心思想是通过投影的方式，将带有标签的数据点投射到低维空间中，使不同类别的数据点在新的空间中形成清晰的分离。例如，假设我们有两个类别的数据点，应用LDA算法后，所有的样本点会被映射到一条穿过原点的直线上。这样，红色点和蓝色点会被明显地区分开来，因为它们分别代表不同的类别。

LDA与PCA的区别

LDA和PCA都是常用的降维技术，但它们有不同的侧重点。PCA主要从协方差的角度出发，寻找最佳的投影方式，而LDA则侧重于类别标签，旨在最大化不同类别之间的距离，同时最小化同类数据点之间的距离。因此，LDA在分类任务中表现得更为出色。

LDA的学习过程

为了实现不同类别之间的数据点间隔最大化，以及同类数据点的间隔最小化，我们需要计算几个关键量。首先，我们将总样本用矩阵表示，其中每一列代表一个样本，每个样本的维度为d维。接下来，我们需要计算类内离散度矩阵（Sw）、类间离散度矩阵（Sb）和总离散度矩阵（St）。这些矩阵可以帮助我们找到最优的变换矩阵G，使得类间间隔尽可能大，而类内间隔尽可能小。

具体而言，类内离散度矩阵（Sw）反映了同一类别内部的数据点之间的差异，而类间离散度矩阵（Sb）则衡量了不同类别之间的差异。通过优化这两个矩阵，我们可以获得一个最优的变换矩阵G，从而实现更好的分类效果。

此外，如果St是非奇异矩阵，则可以通过某些方法改进模型，确保提取的特征向量是相互独立的。这有助于解决欠采样问题，并且在St非奇异的情况下，改进后的模型与传统的模型得到的结果一致。

总之，LDA是一种强大的降维技术，尤其适用于分类任务，它能够有效地将高维数据投影到低维空间中，同时保持不同类别之间的良好区分。