文章重点

本文主要介绍了神经网络中的参数矩阵求导方法。掌握这些方法后，许多求导操作都会变得相对简单。因此，建议读者更多地关注求导的方法，而不是死记硬背各种公式。本文将详细讲解神经网络中参数矩阵的求导过程。

为了更好地理解本文的内容，建议读者先回顾之前的课程，特别是关于逻辑回归和线性回归的相关知识。

神经网络的前向传播公式

神经网络的损失函数可以通过以下公式计算：

损失函数 = (L(y, hat{y}))

其中，(y) 是一个只有一个是1而其他都是0的列向量，其维度为 (m times 1)，这表明这是一个多分类问题。(x) 是一个 (n times 1) 的向量，代表一个包含 (n) 个特征的样本。

我们的目标是求出 (frac{partial L}{partial w2}) 和 (frac{partial L}{partial w1})，但这是一个复杂的复合求导过程。因此，我们需要分步骤进行：

1. 让 (w1 x = a1)。
2. 让 (sigma(a1) = h1)。
3. 让 (w2 h1 = a_2)。

这时，损失函数 (L) 就变成了：

[L = L(y, hat{y})]

我们已经知道了 (frac{partial L}{partial a_2}) 的值，因此可以直接利用这个结果进行下一步的求导：

[ frac{partial L}{partial a_2} = text{已知结果} ]

接下来，我们需要把 (a2) 替换为 (w2 h_1)：

[ frac{partial L}{partial w2 h1} ]

然后可以将其分为两个部分：左侧的部分可以计算出 (frac{partial L}{partial w2})，右侧的部分可以计算出 (frac{partial L}{partial h1})。

首先来看左侧部分：

[ frac{partial L}{partial w_2} ]

然后，我们再来看如何通过左侧部分求出 (frac{partial L}{partial h_1})：

[ frac{partial L}{partial h_1} ]

接下来，继续对 (w1) 求导。具体来说，我们需要应用 (h1)，按照关系先求出 (frac{partial L}{partial a_1})。求解过程如下：

[ frac{partial L}{partial a_1} ]

最后，我们可以继续应用 (a1)，按照关系求出最终的 (frac{partial L}{partial w1})：

[ frac{partial L}{partial w_1} ]

最终，我们得到了所需的求导结果。

全部公式如下：

[ L(y, hat{y}) ]

总结

整个过程可以概括为三个主要步骤：

1. 求 (frac{partial L}{partial a_2})。
2. 根据关系求 (frac{partial L}{partial w2}) 和 (frac{partial L}{partial h1})。
3. 继续求 (frac{partial L}{partial a1}) 和 (frac{partial L}{partial w1})。

通过这种方法，我们可以逐步求出所有需要的参数矩阵的导数。对于复杂的复合函数，需要多次重复这些步骤，直到求出所有需要的参数矩阵的导数。