在接下来的课程中，我们将探讨各种事件及其可能的结果。我们将讨论是否可以通过一种特定的方法来衡量事件发生的可能性，这种衡量标准就是概率。概率的概念源自于频率，因此本篇文章首先介绍频率的基本概念，然后逐步过渡到概率的定义和性质。

频率的定义

假设某个事件A在相同的条件下进行了n次试验，其中A发生了m次。那么，m被称为事件A在n次试验中出现的频数，而m与n的比例m/n称为事件A在这n次试验中出现的频率，用符号fn(A)表示。

频率的波动性和概率

随着试验次数n的增加，事件的频率会在一个固定值附近波动。而且，试验次数越多，这种波动的幅度就越小。这种现象称为频率的稳定性。当试验次数足够大时，频率会趋近于概率。因此，可以说频率是概率的一种近似值，而概率则是频率的理论极限值。

频率的性质

• 0 ≤ fn(A) ≤ 1
• fn(Ω) = 1，fn(∅) = 0
• 如果事件A1, A2, ..., Ak彼此互斥，则所有这些事件并集的频率等于各个事件频率之和。

概率的定义

对于随机试验E，设Ω为其样本空间。对于Ω中的每个事件A，定义一个实数P(A)与其相对应。若事件函数P(A)满足以下三个条件： - 对每个事件A，均有P(A) ≥ 0 - P(Ω) = 1 - 若事件A1, A2, ...彼此互斥，则P(A1 ∪ A2 ∪ ...) = P(A1) + P(A2) + ...

则称P(A)为事件A的概率函数，也即我们所说的是事件A的概率。概率的自变量是事件，事件是由多个结果组成的集合。

概率的性质

• 对于任意事件A，P(A) ≥ 0
• P(Ω) = 1
• 若事件A1, A2, ...彼此互斥，则P(A1 ∪ A2 ∪ ...) = P(A1) + P(A2) + ...
• 对于任意事件A，P(A') = 1 - P(A)，其中A'表示A的补事件
• 对于任意两个事件A和B，P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

推广的概率公式

根据上述性质，我们可以推广得出以下公式：对于任意多个事件A1, A2, ..., An，它们之间的并集的概率计算公式为： [ P(A1 cup A2 cup ... cup An) = sum{i=1}^n P(Ai) - sum{1 leq i < j leq n} P(Ai cap Aj) + sum{1 leq i < j < k leq n} P(Ai cap Aj cap Ak) - ... + (-1)^{n+1} P(A1 cap A2 cap ... cap A_n) ]

示例应用

假设甲、乙两人同时向同一目标射击，已知甲击中的概率为0.7，乙击中的概率为0.6，两人同时击中的概率为0.4。

1. 目标不被击中的概率；
2. 甲击中目标而乙未击中的概率。

在解决这类问题时，首先要列出所有给定的条件，然后逐步推导，将交集转化为并集，最后利用加减法求解即可。