从二叉树到平衡二叉树，再到B-树，直至B+树，让我们逐步了解数据库索引底层的工作原理！

二叉树(Binary Search Trees)

二叉树是一种每个节点最多有两个子树的树结构。通常，这些子树被称为“左子树”和“右子树”。二叉树常用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树具有以下特点： - 每个节点包含一个元素以及最多两个子树，其中0≤n≤2。左子树和右子树有固定的顺序，左子树的值小于父节点，右子树的值大于父节点。 - 假设我们有一组数[35, 27, 48, 12, 29, 38, 55]，顺序插入到二叉树中，可能会导致树的不平衡，例如按照升序插入会导致树退化成线性链表，从而影响查找效率。

为了改善这种状况，平衡二叉树应运而生。

平衡二叉树 (AVL Trees)

平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它不仅满足二叉树的基本特性，还具有一个额外的特点：左右子树的高度差不超过1，并且左右子树自身也是平衡二叉树。

比如，按照[35, 27, 48, 12, 29, 38, 55]的顺序插入，形成的二叉树已经是平衡的。如果按照[12, 27, 29, 35, 38, 48, 55]的顺序插入，平衡二叉树则能保持平衡，避免形成线性链表，从而提高查找效率。

平衡二叉树的查找效率很高，类似于二分查找。假设树的高度为h，树的最大节点数为2^0 + 2^1 + ... + 2^(h-1)。对于100万数据的平衡二叉树，高度大约为20，查找最坏情况需要20次查找。

然而，平衡二叉树在磁盘操作中的性能较差，因为每次查找需要多次磁盘IO。于是，B-树应运而生。

B-树

B-树是一种多路搜索树，每个节点可以包含多个子节点。B-树的特点包括： - 每个节点最多包含m个子节点。 - 除了根节点和叶子节点外，每个节点至少包含m/2（向上取整）个子节点。 - 所有的叶子节点位于同一层。 - 每个节点包含k个元素（关键字），m/2≤k。 - 节点中的元素按顺序排列，左子节点的值小于或等于节点的元素，右子节点的值大于或等于节点的元素。

以[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]的数组插入一个3阶B-树为例，可以看到B-树如何满足这些特性。在B-树中查找元素的过程类似于二叉树，但通过更少的节点访问次数，提高了查找效率。

B+树

B+树是在B-树基础上的进一步优化，更适合用于外存储索引结构。B+树的主要特点包括： - 所有的非叶子节点只存储关键字信息。 - 所有的数据都存储在叶子节点中。 - 所有的叶子节点都包含所有元素的信息，并且叶子节点间有链接指针。

B+树与B-树相比，所有数据都存储在叶子节点，查找效率更高，因为每次查找只需到达叶子节点。此外，B+树的叶子节点间有链接指针，便于范围查询。

B-树 vs B+树

在选择B-树和B+树时，需要考虑以下因素： - B-树的非叶子节点存储实际数据，查找效率较高，但磁盘I/O次数较多。 - B+树的所有数据都存储在叶子节点，查找效率高，但需要更多磁盘空间。

鉴于以上比较，大多数关系型数据库采用B+树作为数据存储结构。

InnoDB存储引擎数据存储

在InnoDB存储引擎中，每个页默认大小为16KB，每次读取数据时都是读取4个页。假设我们有一个用户表，插入数据时，为了减少数据移动，通常是插入到当前行的后面或已删除行留下的空间。因此，页内的数据可能不是完全有序的，但通过指针构成单向有序链表。

随着数据增加，页分裂会产生新的页。InnoDB的页分裂过程包括复制旧页内容到新页，并将新数据插入新页。页分裂过程中，非叶子节点只存储索引，叶子节点存储数据，叶子节点间有链接指针。

InnoDB数据查找

数据插入后如何查找？首先，通过根节点查找叶子节点，再在叶子节点内查找具体数据。InnoDB中定位到页后，通过页目录（Page Directory）中的稀疏索引结构快速定位到目标记录。

聚集索引和非聚集索引

聚集索引存储数据本身，而非聚集索引存储的是数据的聚集索引键。通过非聚集索引查找数据时，需要先找到聚集索引键，再查找具体数据。

InnoDB与MyISAM对比

InnoDB的数据在物理上按主键顺序存放，而MyISAM按插入顺序存放。MyISAM的叶子节点不存储数据，非聚集索引查找数据时可以直接找到数据地址，无需回表操作，因此查找效率较高。

索引优化建议

索引优化建议主要包括： - LIKE的模糊查询以%结尾会导致索引失效。 - 表上的索引数量不宜过多，一般不超过5个。 - 尽量使用覆盖索引。 - 避免在重复数据多的列上建索引。

这些优化建议有助于提高查询效率，减少不必要的磁盘I/O操作。