极大线性无关组

为了理解向量组的秩，我们需要先了解极大线性无关组。首先，让我们回顾一下线性无关组的概念：在一个向量组中，所有向量都不能相互表示。这是理解线性无关组的关键点。

那么，什么是极大线性无关组呢？简单来说，就是在一组向量中，有些向量可以通过其他向量表示，我们的任务是从这些向量中找出最多数量的向量，使得它们不能相互表示。

用一种形象的说法来描述，可以把向量组想象成一个团队，团队中的每个成员都是一个向量，每个向量可以执行特定的任务。例如，一个团队由小红、小李、小张、小刘组成，其中小红负责擦玻璃，小李负责擦玻璃和扫地，小张负责擦黑板，小刘负责扫地。那么，这个团队的极大线性无关组就是小刘和小李，因为只有他们两人能完成所有任务。

更抽象地说，极大线性无关组就是去除向量组中无用的向量，剩下的向量不能相互表示，这样形成的向量组就是极大线性无关组。

接下来，我们用数学语言来描述：

如果一个n维向量组 ( a1, a2, ldots, as ) 中的一个线性无关部分组 ( a{j1}, a{j2}, ldots, a{jr} )（( r leq s )），并且 ( r ) 已经达到最大值，即在这个部分组之外的其他向量都不能再增加而不导致线性相关，那么任意 ( r+1 ) 个向量组成的部分组都是线性相关的。这时，我们称 ( a{j1}, a{j2}, ldots, a_{jr} ) 是该向量组的一个极大线性无关部分组，简称极大无关组。

以上是数学语言的描述。用非数学语言来描述，就是向量组中的每个向量都有可能被其他向量表示，被表示的向量可以认为是没有价值的。因此，线性无关向量组就是要找到那些可以表示整个向量组的部分向量，并且这些部分向量不能相互表示。

如何计算向量组的极大无关组呢？这个问题以后会详细介绍。现在，我们需要明白的是，极大无关组是从向量组中挑选出最有价值的部分。

另外，需要注意的是，一个向量组的极大线性无关组并不唯一。例如，在一个团队中，如果队员A和队员B都会Python编程，那么我们组建一个线性无关组时，可以选择A也可以选择B。如果一个向量组本身就是线性相关的，那么它本身就是极大线性无关组。

向量组的秩

在学习了极大线性无关组之后，当我们求出一个向量组的极大线性无关组时，只需要数一数这个极大线性无关组中有多少个向量，这个数量就是该向量组的秩。

由全零向量组成的向量组的秩为0。

示例

如图所示，我们可以看到向量组 ( a1, a2 ) 是 ( a1, a2, a3, a4 ) 的极大线性无关组，这意味着 ( a3 ) 和 ( a4 ) 都是多余的，因为它们可以通过 ( a1 ) 和 ( a2 ) 的线性组合来表示。因此，我们需要努力成为 ( a1 ) 或 ( a2 ) 这样的不可替代的向量。此外，( a1 ) 和 ( a4 ) 也是一组线性相关的向量，因为 ( a4 ) 可以与 ( a1 ) 重叠，所以最佳的选择还是 ( a_2 )。