本文重点

接下来的一节，我们将学习n阶行列式的概念。在此之前，我们需要掌握一些预备知识。

n级排列

假设我们有三个数字1、2、3，那么它们有多少种排列方式呢？ - 1，2，3 - 1，3，2 - 2，1，3 - 2，3，1 - 3，1，2 - 3，2，1

如上所示，共有六种排列方式。n级排列的定义是： - 由n个不同的数字1、2、...、n组成的有序数组i1、i2、...、in

因此，上述的六种排列都属于三级排列。

逆序数

在一个n级排列i1、i2、...、in中，如果有较大的数it排在较小的数is之后（is < it），则称it与is构成一个逆序。一个n级排列中所有逆序的总数称为它的逆序数，记作N(i1 i2 ... in)。

举例来说，对于五级排列25413，其逆序数为6，因为： - 2在1后面，构成一个逆序 - 5在4、1、3后面，构成3个逆序 - 4在1、3后面，构成2个逆序

奇排列和偶排列

• 奇排列：逆序数为奇数的排列
• 偶排列：逆序数为偶数的排列

例如： - N(123) = 0，因此123是偶排列 - N(321) = 3，因此321是奇排列

行列式

接下来，我们将逆序数和奇排列、偶排列的概念应用到行列式的计算中。

二阶行列式

二阶行列式a11a22 - a12a21的计算方式是： - 如果N(j1 j2)为偶数，符号为正 - 如果N(j1 j2)为奇数，符号为负

例如： - a11a22中的列N(12) = 0，所以是正的 - a12a21中的列N(21) = 1，所以是负的

三阶行列式

三阶行列式a11a22a33 - a11a23a32 + ... 的计算方式是： - 如果N(j1 j2 j3)为偶数，符号为正 - 如果N(j1 j2 j3)为奇数，符号为负

例如： - a11a22a33中的列N(123) = 0，所以是正的 - a11a23a32中的列N(132) = 1，所以是负的

n阶行列式

n阶行列式的计算方式如下： - 总共有n!项，每项是由n个元素的乘积组成 - 通过N(j1 j2 ... jn)的奇偶性决定每项的正负 - 最终将n!项相加得到n阶行列式的值

总结

通过上述内容，我们可以发现任意n阶行列式都是由n!项组成的，且每一项都是不同行和不同列的n个元素的乘积。其中，行是从1到n，列是j1、j2、...、jn，而j1、j2、...、jn是所有1到n列的n级排列之一。N(j1 j2 ... jn)的奇偶性决定了该项的正负。

最后

在这里，我们将n级排列和奇排列、偶排列的概念应用到了n阶行列式中。我们可以通过这些概念来判断行列式的项数及其正负，实际操作时，也可以通过逐级降阶的方法来计算行列式。