本文重点

在机器学习中，线性变换是一种常用的工具，而线性变换可以通过矩阵来表示。然而，非线性变换不具备这种特性。因此，如果有一个线性变换T，如何找到其对应的矩阵呢？

线性变换本质上是一个函数，矩阵同样也是一种函数。因此，线性变换必然可以通过一个矩阵来表示。线性变换或矩阵可以看作是对向量的操作，通过改变基向量来实现。这个新的基向量就是矩阵的每一列。

确定线性变换矩阵A的方法

假设现在有一个线性变换T，我们如何确定其对应的矩阵A呢？

首先，我们将原始线性空间的基向量进行线性变换T(ai)，然后计算每个T(ai)在基下的坐标Ai。这样，线性变换T对应的矩阵就是[A1, A2, ..., An]，即由坐标构成的矩阵。我们可以定义坐标的表示方式为：

[ Y = AX ]

这表示原始数据经过线性变换后变为矩阵Y。

线性变换矩阵A的确定示例

示例一

假设有一个线性变换D，其核心是对线性空间求导数。那么，D在基{1, X, X², X³}下的变换矩阵A是什么？

为了解决这个问题，我们先对基中的每个元素求导数，得到{0, 1, 2X, 3X²}。然后，将每个导数元素用原始基表示为：

[ begin{aligned} 0 &= 1 cdot 0 + X cdot 0 + X^2 cdot 0 + X^3 cdot 0 1 &= 1 cdot 1 + X cdot 0 + X^2 cdot 0 + X^3 cdot 0 2X &= 1 cdot 0 + X cdot 2 + X^2 cdot 0 + X^3 cdot 0 3X^2 &= 1 cdot 0 + X cdot 0 + X^2 cdot 3 + X^3 cdot 0 end{aligned} ]

因此，我们得到四个向量：A1=(0, 0, 0, 0)，A2=(1, 0, 0, 0)，A3=(0, 2, 0, 0)，A4=(0, 0, 3, 0)。所以，变换矩阵A为：

[ begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{pmatrix} ]

示例二

假设有一个线性变换D，向量p(X)=5-3X+3X²+3X³在变换D下的像是什么？

我们知道，线性变换D的作用是求导数。因此，经过变换D后的像就是对p(X)求导数，即-3+6X+9X²。

特殊的线性变换——正交变换

我们已经了解了线性变换，接下来介绍一种特殊的线性变换，称为正交变换。正交变换是线性变换的一种特例。

官方定义： 在线性代数中，正交变换是从实内积空间V映射到V本身的线性变换，且保证变换前后内积不变。

如果一个线性变换是正交变换，那么它具有以下性质：

• 正交变换T可以保持向量的长度不变。
• 正交变换T将原始空间的标准正交基变为标准正交基，即变换后仍然是标准正交基。
• 正交变换T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，满足A的转置乘以A等于单位矩阵I。

常见的正交变换

下面介绍一些常见的正交变换：

• 平面上的旋转变换是一种正交变换。例如，绕坐标原点逆时针旋转一个θ角的变换，其变换矩阵在正交基下为：

[ begin{pmatrix} cos theta & -sin theta sin theta & cos theta end{pmatrix} ]

可以看到，该矩阵的转置乘以自身等于单位矩阵I。