本文重点

我们之前已经学习过线性变换，并且了解到每个线性变换都有一个对应的矩阵。本文我们将从线性变换的角度探讨矩阵范数和行列式的概念。

矩阵范数

为什么我们需要学习范数？范数是衡量大小的一种推广形式。在矩阵的实际运算中，为了讨论收敛性和逼近问题，需要引入向量和矩阵范数的概念。我们在此前已经介绍了向量和矩阵范数的基本概念，现在我们将从线性变换的角度来深入理解矩阵范数的意义。

回顾矩阵范数

如图所示，可以看到每个矩阵的范数计算公式中都有一个条件 ||x|| = 1。这表示向量 x 的范数为 1。矩阵 A 将向量 x 映射为 Ax，矩阵 A 的范数则定义为在向量 x 范数为 1 的情况下，|Ax| 的最大值。换句话说，矩阵范数反映了线性变换对向量长度的最大缩放比例。因此，矩阵范数可以看作是矩阵对向量缩放能力的最大值，也可以理解为向量长度变化的最大幅度。

行列式

行列式是矩阵中的一个基本概念，其结果是一个标量。那么，我们如何从线性变换的角度来理解行列式呢？

线性变换与行列式

回顾一下，矩阵可以视为一个函数，代表一种线性变换。矩阵对向量的作用是通过改变基向量实现的，矩阵的每一列都构成了新的基向量。因此，矩阵的行列式可以用来描述这种变换的强度。

如图所示，可以看到同一个基向量在不同矩阵的作用下，新的基向量的面积发生了变化，这个变化正是该矩阵的行列式。这并不是偶然现象。

特殊情况下的行列式

当矩阵的行列式为零时，说明新的基向量发生了重叠。

如果矩阵的行列式为负数，则表明线性空间发生了翻转。例如，原本基向量 j 在基向量 i 的逆时针方向，但现在基向量 i 在基向量 j 的逆时针方向。

单位矩阵的行列式

单位矩阵的行列式始终为 1，这意味着无论对哪个向量进行变换，输出的向量都与原向量相同。