本文重点

我们之前已经学习了线性变换及其相关的矩阵知识。本文我们将从线性变换的角度出发，探讨矩阵范数和行列式的含义。

矩阵范数

为什么我们需要了解范数？因为范数是对向量和矩阵的大小进行量化的一种方式。在矩阵的实际应用中，我们需要讨论其收敛性和逼近性，这就需要引入向量和矩阵范数的概念。我们在之前的章节中介绍了向量和矩阵的范数，现在我们将从线性变换的角度来理解矩阵范数的含义。

回顾矩阵范数

矩阵范数可以通过以下方式来理解： - 对于任意一个向量x，其范数为1。 - 矩阵A将向量x映射为Ax。 - 矩阵A的范数定义为其在所有范数为1的向量x下，|Ax|的最大值。

换句话说，矩阵的范数反映了线性变换将向量放大或缩小的最大比例。这表明矩阵中的每个向量都会对向量进行缩放、旋转等操作，其中最大的缩放比例定义为矩阵的范数。因此，矩阵的范数可以视为向量长度变化的最大限度。

行列式

行列式是矩阵中一个简单但重要的概念，其结果是一个常数。从线性变换的角度来看，行列式描述了矩阵对向量进行加工的效果强度。

回顾行列式

矩阵实际上是一个函数，对应着一个线性变换。矩阵通过改变基向量来对向量进行加工，每列代表一个新的基向量。矩阵表示对向量进行变换，而矩阵对应的行列式则反映了这种变换的强度。

• 图形显示了在不同矩阵作用下，基向量形成的面积发生变化，这个变化正是矩阵的行列式值。
• 如果矩阵的行列式为0，说明新的基向量发生了重叠。
• 如果矩阵的行列式为负数，说明线性空间发生了翻转，原来基j在基i的逆时针方向，现在基i在基j的逆时针方向。

特殊的行列式

• 单位矩阵的行列式为1，这意味着无论对什么向量进行计算，输出的向量都与原来的向量相同。