我们通常用这种方式来表示一个向量，例如(3,2)。这种表示方法的前提是我们默认使用(1,0)和(0,1)作为二维空间的一组基。只要以这两者为基，向量就可以这样表示。如图所示，该向量在x轴上的投影为3，在y轴上的投影为2，因此它可以表示为(3,2)。

总体来说，我们可以用以下格式表示向量：

其中x=3，y=2。因此，要准确描述一个向量，首先需要确定一组基，然后给出在这些基所在直线上的投影值。这是因为我们从小习惯使用这组默认的基。选择(1,0)和(0,1)作为基，是因为它们分别是x轴和y轴的单位向量，便于表示。

作为基，必须满足线性独立的条件。为了使基更实用，我们通常会让基互相垂直，这样的基更容易表示向量。因此，只要满足线性独立的条件，就可以将其作为基，例如(1,1)和(-1,1)也可以作为一组基，因为它们也满足线性独立的要求。

此外，我们还希望基的长度为1，因为此时可以通过点积来直接计算投影值，从而简化计算过程。要将基单位化，只需将其长度调整为1即可，例如(1,1)和(-1,1)可以单位化为：

这样，向量(3,2)在新基下的坐标就变成了与其点积的结果，即：

通过可视化可以看出：

蓝色部分代表新的基，红色部分则是在这个新基下的坐标。

降维的核心

要将一个5×3的矩阵（样本）降维至4×3的新样本，我们需要使用一个4×5的降维矩阵。通过矩阵乘法，我们可以实现这一转换：

（4×5）×（5×3）=（4×3）

这里的每一列代表一个样本，每一行代表一个基。换句话说，要将一个五维向量降至四维，我们需要找到一组四维的新基。核心问题仍然是坐标变换。关于新基的具体计算方法，可以参考这篇文章：每天五分钟机器学习：主成分分析算法PCA的核心——特征分解技术。