本文将介绍概率论中的一个重要概念——古典概型。古典概型是一种特殊的概率模型，用来描述在有限个可能结果中，各个结果出现的概率相等的情况。通过理解古典概型，我们可以更好地评估某些事件发生的可能性。

古典概型

如果一个实验具有以下两个特点，那么它就可以被视为古典概型：

1. 实验的结果是有限的。
2. 各个结果出现的可能性相同。

假设实验的所有可能结果用w1，w2,...,wn表示，那么所有可能结果的集合即为样本空间。每个结果被称为基本事件，并且它们彼此互斥。每个基本事件发生的概率相等，所有基本事件的概率之和为1。

每个基本事件wi发生的概率为p(wi)=1/n。

古典概型的应用

在古典概型中，我们需要认识到每个基本事件发生的概率是相同的。因此，如果我们想计算某个事件A发生的概率，只需要计算事件A包含的基本事件数量，然后除以总的基本事件数量即可。

古典概型的例子

在处理古典概型的问题时，关键在于确定总的基本事件数量和事件A包含的基本事件数量。下面是一些具体的例子：

例子一：掷骰子

掷一枚均匀的骰子，设A表示结果为“四点或五点”，B表示结果为“偶数点”，求P(A)和P(B)。

• 总的基本事件数量为6（{1，2，3，4，5，6}）。
• 事件A包含的基本事件数量为2（{4，5}），所以P(A)=2/6=1/3。
• 事件B包含的基本事件数量为3（{2，4，6}），所以P(B)=3/6=1/2。

例子二：取球问题

一个袋子中有5个球，其中3个是白球，2个是黄球。取球的概率相等。

1. 从袋中随机取一个球，记A={取到白球}，求P(A)。

   • 总的基本事件数量为5（{白，白，白，黄，黄}）。
   • 事件A包含的基本事件数量为3（{白，白，白}），所以P(A)=3/5。

2. 从袋中不放回取两个球，记B={两个都是白球}，求P(B)。

   • 总的基本事件数量为20（第一次有5种取法，第二次有4种取法）。
   • 事件B包含的基本事件数量为6（第一次取白球有3种取法，第二次取白球有2种取法），所以P(B)=6/20=3/10。

例子三：小球放盒子问题

n个球随机放入N个盒子中（N≥n），每个盒子最多放一个球。求每个盒子中至少有一个球的概率。

• 总的基本事件数量为N^n。
• 事件A包含的基本事件数量为N(N-1)...(N-n+1)，所以P(A)=N(N-1)...(N-n+1)/N^n。

例子四：生日问题

在一个群体中，至少有两个人生日相同的概率有多大？

• 总的基本事件数量为365^n。
• 事件A包含的基本事件数量为365^n - 365364...*(365-n+1)，所以P(A)=1-P(B)，其中P(B)表示所有人都有不同生日。

例子五：麻将问题

一副去掉花牌的标准麻将牌共有136张。求庄家起手抓14张牌却没有“将”的概率。

• 总的基本事件数量为C(136,14)。
• 事件A包含的基本事件数量为C(34,14)4^14，所以P(A)=C(34,14)4^14/C(136,14)。

例子六：分组问题

将n个小球分成k组，每组分别有n1，n2，...，nk个球，求不同的分组方法数。

• 总的基本事件数量为n!/(n1!n2!...*nk!)。

例子七：乒乓球分装问题

有15只乒乓球，其中12只是白色，3只是黄色。将它们随机分成3组，每组5只。求A={每盒中恰有一只黄球}和B={3只黄球都在同一盒中}的概率。

• 总的基本事件数量为15!/(5!5!5!)。
• 事件A包含的基本事件数量为3!12!/(4!4!4!)，所以P(A)=3!12!/(4!4!4!)/15!/(5!5!5!)。
• 事件B包含的基本事件数量为312!/(2!5!5!)，所以P(B)=312!/(2!5!5!)/15!/(5!5!5!)。

例子八：抽次品问题

N件产品中有K件次品，N-K件正品。每次从N件中任意抽取一件，检查后放回，共抽n次。求事件A={所抽到的n件产品中恰有k件是次品}的概率。

• 总的基本事件数量为N^n。
• 事件A包含的基本事件数量为C(n,k)K^k(N-K)^(n-k)，所以P(A)=C(n,k)K^k(N-K)^(n-k)/N^n。

例子九：三极管抽取问题

有6只三极管，其中4只是甲类，2只是乙类。按两种方式抽取两只三极管。

1. 每次抽取后放回。
2. 每次抽取后不放回。

求A={抽到两只甲类三极管}，B={抽到两只同类三极管}，C={至少抽到一只甲类三极管}，D={抽到两只不同类三极管}的概率。

• 放回抽取：

  • 总的基本事件数量为36（6*6）。
  • 事件A包含的基本事件数量为16（4*4），所以P(A)=16/36=4/9。
  • 事件B包含的基本事件数量为5（16+4），所以P(B)=5/9。
  • 事件C包含的基本事件数量为32（1-4/36），所以P(C)=8/9。
  • 事件D包含的基本事件数量为4（1-5/9），所以P(D)=4/9。

• 不放回抽取：

  • 总的基本事件数量为30（6*5）。
  • 事件A包含的基本事件数量为12（4*3），所以P(A)=2/5。
  • 事件B包含的基本事件数量为7（12+5），所以P(B)=7/15。
  • 事件C包含的基本事件数量为28（1-2/30），所以P(C)=14/15。
  • 事件D包含的基本事件数量为8（1-7/15），所以P(D)=8/15。