一、引言

足式机器人相较于传统的四轮式和履带式机器人，在复杂环境中展现出更高的机动性，尤其在军事任务和救援任务中表现更为出色。要实现机器人的智能化，首先需要让机器人具备类似人类或动物的行动能力。马克·雷波特认为，实现这一目标的关键在于让机器人具备以下三种能力：

1. 平衡性和动态运动能力：使机器人能够在任意地形上保持平衡并自由移动，从而扩大其工作范围。
2. 运动控制能力：机器人能够灵活操控物体，同时自由移动，这意味着它能在移动过程中高效完成各种任务。
3. 移动感知能力：机器人可以感知周围环境中的障碍物，即使视线转移也能避开障碍物，从而绘制出环境中的障碍物地图，有效避免碰撞。

波士顿动力公司致力于开发高效的四足机器人控制系统。从平衡控制入手，这项技术十分复杂，需要一定的先验知识。因此，我们首先探讨机器人的基本运动控制，即如何让机器人移动。这里介绍了一种基于平面三轴的运动控制方法。

在详细介绍这种控制方法之前，先简要介绍一些四足机器人的基础知识。我们的控制方法基于北理工出版的《仿生四足机器人技术》中的CPG控制网络。这部分内容主要摘自书中，笔者不再对具体技术细节做过多解释，有兴趣的读者可以自行查阅。

二、运动状态

本章节讨论如何描述机器人的位置和姿态。位置可以通过坐标表示，例如在平面上的一个点可以用坐标[x, y]表示，在空间中则用[x, y, z]表示。姿态的描述则更为复杂，通常用旋转角表示。在机器人运动中，姿态和位置是解决定位和坐标转换问题的基础。

该项目设想了一个简化模型：在不考虑各腿协同运动的情况下，可以将机器人视为刚体，其运动类似于刚体的运动。我们选用欧拉角来表示机器人的姿态，运动包括Roll、Pitch、LinerZ、LinerX、LinerY、Yaw等部分。需要注意的是，LinerZ控制机器人的质心高度，属于姿态控制的一部分；而Yaw控制机器人在平面内的旋转，属于运动控制的一部分。

姿态控制

姿态控制主要涉及Roll、Pitch和Liner_Z。姿态控制更多应用于环境响应部分，这里暂不详述。接下来，我们重点讨论运动控制部分。

运动控制

1. 运动分解

当四足机器人在平坦地面上运动时，质心高度（Liner_Z）、Pitch和Roll角基本保持不变，因此可以将其视为平面内的运动。其位置可以用坐标[x, y, θ]表示。当前的主要目标是通过控制模型使机器人沿着给定轨迹[P(t)]=[x(t), y(t), θ(t)]移动。基本运动包括：

• 沿X轴的平移（Liner_X）
• 沿Y轴的平移（Liner_Y）
• 绕Z轴的旋转（Yaw）

2. 运动叠加

几乎所有的平面运动都可以分解为上述三种基本运动的组合。例如：

• 沿X轴和平移Y轴的组合形成斜向直线运动。
• 沿X轴和绕Z轴的旋转形成指定半径的转向运动。

需要注意的是，这些基本运动的顺序并不固定，既可同时发生，也可按时间先后发生，具体取决于实际环境对运动轨迹的约束。

三、步态

足式动物的运动形式可以用“步态”来描述，步态是指各腿在行走时具有固定相位关系的运动模式。慢速行走时，四足动物每一步都是稳定的三脚支撑状态，称为行提高态，是一种四拍步态。快速行走时，则是两拍步态，如小跑步态（Trot）和溜蹄步态（Pace）。

为了用数学语言描述步态，我们需要了解以下几个参数：

• 步态周期T：一个完整的运动循环所需的时间。
• 步长S：一个步态周期内，支撑腿推动质心相对于地面移动的距离。
• 抬腿高度h：一步内足端离地的最大距离。
• 相位差φi：第i条腿着地时刻相对于参考腿的延迟与周期的比。
• 支撑（Stance）：腿与地面接触支撑躯体并推动前进的状态。
• 摆动（Swing）：腿抬起在空中摆动的状态。
• 负载因子β：支撑相中腿在地面上支撑的时间占整个运动周期的比例。

以上参数定义了动物的步态，四足机器人的步态参照这些参数。步态转换时，左前腿相位定义为φLF=0，相对相位可以表示为负载因子β和右后腿相位φRH的函数。

四、CPG控制网络介绍

动物的运动通常具有节律性，即按照一定的节奏重复协调的动作，这是低级神经中枢的自激行为。动物的节律运动控制区被认为是分层且模块化的，控制中心为中枢模式发生器（CPG）。后人根据CPG控制机理建立了不同的数学模型，这些模型能够产生周期性的振荡信号，满足节律运动的特点。

CPG模型大致分为两类：

1. 基于神经元的模型：如Matsuoka神经元振荡模型、Kimura模型等，这类模型生物学意义明确，但参数较多，动态特性分析复杂。
2. 基于非线性振荡器的模型：如Kuramoto相位振荡器、Hopf谐波振荡器等，这类模型参数较少，模型相对成熟。

根据这些模型的选择原则，我们选择了Hopf振荡器作为CPG的单元模型。

Hopf振荡器

Hopf振荡器在形状空间中存在一个稳定的极限环，即对于任意非零初始值，振荡器都会产生相同形状的周期性振荡信号。其数学模型如下：

假设α=100, μ=1, ω=2π，振荡器产生的极限环和输入结果如下：

从图像可以看出，对于该微分方程组，取任意初始值x(0)，y(0)，在波动输入后，均能收敛到同一个圆上。放大输入信号进行观察：

通过对比发现，输入信号的上升沿与下降沿所用时间相同。我们将上升沿定义为摆动相，下降沿定义为支撑相。为了适应不同负载因子下的运动形式，对ω进行以下改进：

其中，ωst、ωsw分别表示支撑相频率和摆动相频率，参数a决定ω在这两者之间的变化速度，β为负载因子，用于控制不同步态。最终数学模型如下：

其中：

• α控制振荡器收敛到极限环的速度；
• a决定ω在ωst和ωsw之间的变化速度；
• μ控制振荡器的幅值，关系式为A=μ；
• β为负载因子（范围0-1）；
• ωsw表示摆动相频率；
• ωst表示支撑相频率，且ωst=(1-β)/β×ωsw。

动态特性

通过设置不同的参数值，可以观察到振荡器输入信号的幅值、周期、上升/下降沿所占时间比例的变化。这些参数之间不存在耦合，具体总结如下：

• μ控制输入信号的幅值A=μ；
• ωsw控制输入信号的周期；
• β控制输入信号上升/下降沿所占时间比例。

CPG网络控制模型

以上内容简要介绍了单个振荡器的特性，但四足机器人至少有12个自动关节，单个振荡器显然不够。因此，我们需要一个CPG控制网络来完成各腿的协同运动。CPG网络可以通过链式连接或网络连接实现，以完成多个肢体的协同运动，并在时域上保持相关性。

我们参考北理工《仿生四足机器人技术》中的CPG控制网络模型。基本思路是采用4个Hopf振荡器分别对应四足机器人的4条腿，将每个振荡器的x输入作为髋关节的角度控制信号，对y输入进行变换，再将变换后的信号作为膝关节的角度控制信号。

需要注意的是，这4个振荡器必须相互关联。按照前辈的方法，引入一个耦合项来表征振荡器之间的关系。最终数学模型如下：

其中：

• Ah、Ak分别为髋关节、膝关节的幅值，ϕ为关节标志，与硬件结构配置有关，本机器人采用前肘后膝式。
• R(θij)控制各腿控制信号的耦合关系，θij=2π(φi-φj)，φi为第i个振荡器的相位（相位图请参见第三章：步态）。
• 为了更直观，我们把耦合项展开成矩阵形式（一个8×4矩阵，按行求和）。
• 同样，可以将数学模型写成更直观的微分方程形式。

至此，我们已经建立了最基础的控制网络模型。然而，这只是第一步，正如单个Hopf振荡器需要多个参数一样，该控制模型同样需要多个参数。这些参数与机器人有何关系？如何确定？这些问题将在后续文章中详细解答。

Tips

这里提供一个仿真实例，视频将在B站发布，搜索“四足机器人”，认准我的头像即可找到。

按照Trot步态的相位分布，给定以下参数α=1000, a=100, β=0.5, Ak=3.3, Ah=9.8, ωsw=5π，输入结果如下：

其中，蓝色信号为髋关节信号，红色信号为膝关节信号。从图像可以看出，输入信号符合Trot步态运动规律，左前腿与右后腿保持同步，其他腿也遵循相同的模式。髋关节信号在上升沿为正，其他时间为0，符合摆动相的要求。

最终，仿真结果如下：

参考文献

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